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静坐常思己过,闲谈莫论人非,能受苦乃为志士,肯吃亏不是痴人,敬君子方显有德,怕小人不算无能,退一步天高地阔,让三分心平气和,欲进步需思退步,若着手先虑放手,如得意不宜重往,凡做事应有余步。持黄金为珍贵,知安乐方值千金,事临头三思为妙,怒上心忍让最高。切勿贪意外之财,知足者人心常乐。若能以此去处事,一生安乐任逍遥。

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关于小学“数学本质”的对话  

2009-09-30 11:10:41|  分类: 小学数学教学研究 |  标签: |举报 |字号 订阅

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关于小学“数学本质”的对话

作者:来自《人民教育》

对话者:张奠宙(华东师范大学教授)

                                                      唐彩斌(浙江杭州现代小学数学教育研究中心主任)  

2009-7-15 

 唐:常说“教什么比怎样教更重要”。今天我们讨论的话题是小学数学教学中常见的一些“数学问题”。不过许多人认为,小学数学谁都懂,您怎么看?

张:小学数学的内容并不简单。现在有关的教材、论文中就有不少数学上的瑕疵。作为小学数学教师,首先要居高临下,知道小学数学在整个教育当中的地位和作用;此外,小学数学也要“与时俱进”,体现时代特色。最重要的是,教师要展示数学的本质,提高学生的数学素养。今天,我们就来谈一些具体问题。

0为什么是自然数

  唐:小学数学中最大的学习领域是数与代数。关于自然数,大家议论最多的是,“0本来不作为自然数,现在怎么又说是自然数了”,究竟为什么?

    张:在上世纪90年代以前,自然数不包括0,但是1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(GB3102.11)里规定:自然数包含0。

    唐:新课程小学数学教材,已经根据这一标准进行了修改。具体的表述是:用0表示“一个物体也没有”所对应的数。在教学中,有些老师觉得把0作为自然数,不大好接受。

    张:这只是习惯问题。0是自然数有许多理由。首先,人的经验是,从无到有。我们常说:“从零开始”、“零距离接触”,就表明0是最小的自然数。再比方说,魔术师总是先交代两手空空,再变出一只兔于,然后是两只兔子……铅笔盒中本来是空的,然后装进一支铅笔、两支铅笔,  等等。老子的《道德经》里说:“道生一,一生二,二生三,三生万物。”可见,一是由道——一种虚无的存在而产生的。第二,更重要的是书写的需要,10的位置记数写法是10。没有0,就写不出10,20,30,100。所以0,1,2……9这10个数字是最基本的。第三,0的出现可以保证自然数集有单位元a+0=0+a=a。在自然数中5-5=0,如果0不是自然数,那么5-5岂不是不能减了?

    唐:对啊。说到习惯,从某种意义上说是老师的习惯。对学生而言,由于尚未形成习惯,也未必就不好接受。

感受100万粒米有多大有没有必要

    唐:近几年来,我们经常看到这样的教学片段:通过让学生认识“100万粒米的体积”,来认识100万有多大?您怎么看这样的教学?

张:当初设计这样的教案,初衷是好的,就是要大家体验一下100万是怎么来的。不过,数学教学要关注的是100万这个数的结构。至于说100万粒米有多大,知不知道无所谓。难道我们还要体验100万颗花生、100万个篮球有多大?有的文章问:100万张100元的人民币要多大的箱子装?这不是普通百姓需要的知识。关于100万的教学,主要精力要放在100万的结构,即如何形成100万上面。例如,我们可以设计这样的活动:从一个单位立方体出发,10个构成一排,10排构成一个正方形,10个正方形叠起来构成一个立方体,即1000。再以这个立方体作为新单位,10个一排构成万,10排形成新的正方形构成10万,最后,10个新正方形构成新的立方体,就是100万。这个过程是每个人都要弄明白的。

分数究竟该如何定义

唐:很多教材都是这样定义分数的:单位1平均分为若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。这样的描述听起来比较自然,也符合“几分之几”的称呼,因而是引入分数的首选。

张:对,用份数的定义来引入分数是非常自然的。但这样说还没有体现引进分数的本质:分数是一个不同于自然数的新数。份数定义还停留在“几份”的思考上,还没有越出自然数的范围。1份,3份,是分数还是自然数?因此必须尽快过渡到分数的“商”定义:即分数是正整数a除以正整数b的商,记为a/b。用a除以b,当除得尽时(整除),答案仍是“老朋友”——自然数。关键在于除不尽的情况,这时得到的商就是我们要结识的新朋友——分数。这个概念我们现在注意得不够,而这恰恰是我们学习分数的本质所在。

唐:您能举例说明一下吗?

张:比如1/4,它是一个整体平均分为4份中的一份。但是,这一份究竟有多大呢?1除以4的商是多大呢?它一定比1小,却又比0大。我们可以在数射线上标出它的位置:它在0和1之间,中间这一点是一半,就是1/2;在1/2和0之间再分一半,那个位置就应是1/4。这样一画,分数是“我们的新朋友”的特性就显示出来了。原来的自然数离散地分布在数射线上,现在的分数密密麻麻地填在射线上。商的分数的定义比份数的定义要深入一步,体现了引进分数的必要性。目前的教材只是说“分数和除法之间的关系”,未免不得要领。

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唐:确实,以前我们描述分数与除法的关系时只是一般地描述为:分数中的分子相当于除法中的被除数,分母相当于除法中的除数。但到底是怎样的一种关系,尚不明晰。分数的商的定义,强调分数是一个新的数,这太重要了。张老师,您以前还提到了分数的另外一种定义,那是一种怎样的定义?

张:分数的第三个定义是比的定义:两个自然数a和b,b≠0,把比值a/b叫做分数。比和除,本来是一个问题的两个方面,我的意思是说,用比的概念之后,分数就可以扩大它的应用范围,使我们的视野更广阔。我记得我曾经请你做过一个调查。

唐:是的。当时我们组织了100多名学生,分别来自三、四、六年级。给他们看屏幕上的一个圆,这个圆被分成4份,其中的一份被涂成蓝色。然后问学生,你看到了哪些分数呢?让他们想两分钟,尽量写答案。结果如下表。

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总人数

1/4

3/4

1/2

4/1

1/3

3/1

三年级

39

38

14

 

 

 

0

四年级

39

36

17

10

8

8

2

六年级

38

36

8

3

 

3

 

合计

116

110

39

13

8

11

2

百分率

 

94.83

33.62

11.2

6.90

9.48

1.72

张老师,你怎么看这个数据?

    张:我想,比的定义和我们原来份数的定义是相关的。份数的定义是说,分数表示的是一个整体平均分之后,其中的几份。从这个小调查看出,以整个圆作为“整体单位”的思维定式还是太强了。不仅仅是一个圆可以作为整体,1个半圆或3/4个圆也可以是整体。灵活地选择整体是理解分数的重要一步。我作为一个大学数学教师,看到的是1个圆里面有1块蓝、3块白,它们的比是1:3,首先想到的分数是1/3。所以,不能把一个整圆四等分作为一种定式,以至于看不到1块蓝与3块白之间的比。我想,比的定义也许和份数之间的灵活转换有一定的关系,我也希望老师们能把份数和比的定义联系起来思考。

什么是代数

    唐:《数学课程标准(实验稿)》设置了“数与代数”的学习领域。过去,在小学里,对于数的认识我们比较熟悉。至于代数,相对来说比较陌生一些。怎么理解代数?

    张:代数学的英文名称是algebra,是9世纪阿拉伯数学家花拉子米一部著作的名称。原意是“还原与对消的科学”。什么叫做对消?大家知道的有正负对消,就是解方程时所谓的移项。所谓还原,就是把本来淹没在方程中的未知数x暴露出来,还原了x的本来面目。所以方程是和代数紧密联系在一起的。

    唐:一般在学习方程之前,我们都要先学习“用字母表示数”。方程理论就是“用字母代表数”吗?它们之间到底是一种怎样的关系。

    张:单单用字母代表数,还不是代数。例如,加法交换律写为:a+b=b+a,虽然也用字母代表数,却和代数的思想方法没有关系。用字母代表数,即设某量为x的做法,只是运用代数方法的第一步。代数的思想方法,其核心是基于含有x的“式”的运算来求得未知数,最后解决数学问题。从数的运算到“式”的运算,实行对消和还原,是算术与代数的根本区别。

    唐:小学数学的“代数”内容就是能够部分地解出一元一次方程;ax+b=c。至于ax+b=cx+d这样的方程小学里解起来还是有些困难。

张:难在含x的项的合并,即关于“式”的运算。小学里解方程,用字母代表数之后,主要使用逆向思维进行对消和还原。例如2x-1=5,用逆向思维也可以还原出x=3。中学里则要引入负数、进行“式”的运算,用同解概念进行对消和还原,按照程式化的规则,一步步机械地做下去就能得到解。那就是代数思维。这就是说,算术中的逆向思维也有还原和对消的思想,需要学习,但是思维过程是一题一解,没有固定的程式,不能程式化。所以,小学学习逆向思维不要搞得太难。太多了,反而会干扰未来方程的学习。

唐:关于方程概念的争论也很多。如:x=l,是不是方程?

    张:毛病出在“含有未知数的等式叫方程”。大家都把它当作方程的定义,所以会出现x=l,0xx=0,x-x=0是不是方程这样的怪问题。其实,这句话只谈了方程的表面,实在不重要。方程的本质是为了求未知数,在已知数和未知数之间建立一种等式关系。既然方程的本意就是要求未知数,如果x=l,未知数已经求出来了,也就没有方程的问题了。这类问题与我们学习方程知识没有关系,应当淡化。正如西南师范大学的老校长陈重穆先生所说,需要“淡化形式,注重实质”。

    唐:陈重穆先生是代数学家,首批代数学博士导师。他提出“淡化形式,注重实质”,值得深思。

解决问题与应用题是什么关系

    唐:在数学新课程中,以前特别熟悉的应用题不见了,取而代之的是解决问题。请张老师从数学的角度谈谈这两者之间的关系。

    张:数学问题可以有多种分类方法。例如,可以分为常规的练习题和非常规的探究性问题。通常所说的“解决问题”,则比较关注非常规问题。另外,还可以分为纯数学问题和应用数学问题。像歌德巴赫猜想这样的纯数学问题,来源于数学内部;至于“神舟7号”飞行轨道的计算问题,则属于应用问题,来源于现实生活中各行各业所涉及的数量关系。小学数学里的应用问题是客观存在的,似乎不必回避。应用题可以改进,却不能取消。我们反对的是过去小学数学中那些矫揉造作、远离现实、缺乏教育价值的应用题。新的应用题,强调数学模型的建立,问题的条件可以冗余,数据需要取舍,模型需要建立,结果需要验证,值得提倡。

    唐:张老师,你常常提起20世纪最伟大的数学教育家弗赖登塔尔举过的一个例子:“昨夜外星人访问我校,留下了一个巨大的手印(图),今夜他还要来,试问:我们给他坐的椅子应该有多高?他用的新铅笔应该要多长?”这个问题是应用题吗?

    张:我认为这是好的应用题。首先,这是一个学生喜欢的  题材,虽然不是实际发生的问题,却是可以领会理解的情境。正如鸡兔同笼问题一样,是一种好的数学模型。其次,它蕴含了丰富的数学思想,非常深刻地体现了比例的思想。学生通过测量巨人的手和自己的手的大小比值,然后按比例放大,将比值用于设计椅子高度和铅笔长度。这  是比、比例、相似等数学本质的体现。再如,日本有一堂公开课,内容是要求学生在一块矩形场地上设计花坛,使得花坛的面积为场地的一半。这是数学和艺术相结合的应用题。类似这样的问题就和过去的应用题有很大的区别,是我们需要关注的。

小学几何内容为什么要增加

    唐:新课程在空间与图形领域增加了一些新的内容,从您的角度看,为什么要增加?

    张:几何学的内容很丰富。首先是直观几何,就是对平面图形、立体图形的认识;其次是一些求面积、体积的问题,属于度量几何。在实施新课程以前,小学数学主要包括这两部分内容。后来我们发现,大学数学的许多问题,它的原始思想是非常简单、非常朴实又非常重要的。于是就增加了以下三个方面的内容。第一是演绎几何,比如说垂直、平行、线段、射线这些名词都属于演绎几何的范畴。第二是运动几何,如平移、旋转和对称,是小学生需要和可以接受的内容。第三是坐标几何。总体来看,现在小学数学里的几何学,包括直观几何、度量几何、演绎几何、运动几何、坐标几何这五大块。  从过去的两块扩大到五块,扩大了我们几何学的视野,丰富了我们对几何学的感受,是十分有意义的改革。

唐:不过对于小学来说可能还是直观几何最为基本。张老师您认为直观几何学教学的重点是什么?

张:我想小学数学当中,直观几何最根本的或者最核心的内容就是用平面来描述立体。事实上我们生活的空间是三维的,接触的物体都是立体的,但是留在眼睛视网膜上的、画在教科书上的都是平面的;因此,空间图形平面化,通过平面图形想象空间物体是直观几何的重要内容。新课程的教材中,通过照相机从“不同角度下拍摄照片”,通过三视图科学描述简单对象,都是要用平面图形描写立体事物。

什么是长度、面积、体积

唐:小学教材中大都这样表述面积和体积:“物体表面或平面图形的大小叫面积”,“物体占有空间的大小叫做物体的体积”。这是它们的定义吗?

    张:这些只是对面积、体积的描述,不是严格的定义。因为总是先有面积、体积的定义,才能谈大小。在严格的定义里不能出现“大小”的词汇。人的概念有两种,一种就是生活中自然形成的,比如说面积、体积,大家都明白,不必给出严格的定义(那是大学数学课程的内容)。现在的教材上,,把体积说成“占有空间的大小”,要学生记住,实在没有必要。事实上,要理解“空间”,比理解体积更困难,往往是越解释越糊涂。这说明,对于这类定义不要太当真。在小学里,学生头脑里的体积直觉,已经够用了。

    唐:在课堂上,我们会看到类似“排水法测土豆的体积”的案例。

张:那是物理方法。数学上可以运用,做一些教学实验。但是,数学的本质是如何“计算”某些图形的面积和体积。注意是找出“计算”的方法和公式,并不是一味地度量。面积的严密定义是“一些集合类上定义的有限可加、运动不变、单位正方形面积为1的集合函数”。这是大学里研究的问题。但是在小学课堂上,要让小学生体会面积、体积的一些特征:例如可以演示,不相交的两图形合并后的面积是两图形面积之和,图形搬来搬去,其面积不变,进而可以用单位正方形的割补、拼接去度量复杂图形面积,等等。

小学里为什么要渗透平面坐标思想

    唐:小学数学为什么要渗透平面坐标思想?坐标的核心思想就是确定位置吗?

    张:很多的教案都这样说,其实不准确。学习坐标确定位置,好像用经纬线确定地球表面上的位置一样,是地理学的研究目标。数学课程中更重要的是用坐标来表示几何图形。例如,两个坐标都一样的点(y=x);第一个坐标为1的点(x=1),等等,都能表示一类直线。同样也可以用坐标描绘一个矩形的“熊猫馆”。

    唐:谢谢张老师,帮助我们基于数学的本质来分析这些问题,很受启发。

    张:谢谢,希望有更多的机会与小学数学教师交流数学问题。

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