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关于情景导入的案例与认识   

2009-09-30 11:28:13|  分类: 小学数学教学研究 |  标签: |举报 |字号 订阅

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关于情景导入的案例与认识

陕西师范大学数学与信息科学学院    罗增儒  

2009-9-28  

 

现实生活里既有数学的原型、又有数学的应用,在数学教学中联系学生的生活经验创设现实情境,一方面体现了生活的教育意义,另方面又赋予教育以生活意义,使生活世界、数学世界、教学世界得以融通,确实能从诸多方面提供教学发展的机会。比如,情景导人让学生有机会本质感悟数学:看到数学起源于现实,看到数学应用于生活,感知数学是对现实世界进行空间形式和数量关系方面的抽象化、形式化刻画。进而,能从观念层面认识到,数学里有聪明的符号但别以为数学只是聪明人的符号游戏,数学里有智力的想象但别以为数学只是想象者的智力玩具,数学是认识世界、改造世界的有力工具。

又如,创设情境的学习方式基于学生的“数学现实”,发展学生的“数学现实”,符合学生的认知规律(从直观到严谨、从具体到抽象、从特殊到一般等),既便于建立新旧知识之间非人为的实质性联系,又有利于感受数学知识的形成过程、感受数学发现的拟真过程,经历:“数学化”,学会“数学地思维”。

    此外,创设数学情境可以弥补直接传授结论的局限,为数学的学术形态转变为教育形态提供自然的通道,为数学的呈现方式转变为数学的生成方式提供具体的环境,使学生的学习过程有机会成为在教师引导下的“再创造”过程。

    值得重视的是,理论上的好处与实践中的落实有一段很长的距离,现实原型与数学模式之间也有许多关系需要明确。我们想通过案例来作具体的说明。

    1  关于情景的案例

    1.1  钟面上的时针与分针是否组成角

案例1  下面是一位教师在上人教版七年级上册“角的度量”第一课时的教学片断。

    教师首先出示了时钟、棱锥、树叶等几幅图片。

    教师:请同学们找出以上图片所含的角。

    学生:钟面上的时针与分针,棱锥相交的两条棱,树叶上交错的叶脉等都是角。

    教师:这些角有什么共同的特征?你能否根据这些特征给角下一个定义?

    学生:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

教师:由线段OA,OB组成的图形是角吗?

学生:不是角。

    教师:回答正确。因为OA,OB是线段而不是射线,所以由线段OA,OB组成的图形不是角。

    学生:老师,如果根据角的定义,钟面上的时针与分针,棱锥相交的两条棱,树叶上交错的叶脉那也不是角了?

    教师无言以对。(参见文[1])

    在另一个场合,我们还见到有的学生以为,他所拿的小三角板60°比老师所拿的大三角板60°小一些。

1.2  汽车在高速路上行驶是平移吗

    案例2  下面是“生活中的平移”公开课的教学片断。(2007年10月20日)

    (1)教师用投影片出示生活中平移的例子:游乐场的滑梯,天空中的飞机,大海里的轮船,行走的玩具狗等。启发学生从三个方面:几何图形,运动方向,移动距离,去思考以上几种运动现象有什么共同特点。

    (2)学生发表看法,教师归纳它们的共同特点,引导学生说出平移的定义。接下来,教师用更加规范的语言描述平移:

定义:在平面内,将一个图形沿着一定的方向移动一定的距离,这样的图形运动称作平移。

(3)接下来教师请同学们再来看两个生活中平移的例子:传送带上的电视机,手扶电梯上的  人,由这两个例子的共同特点得出平移的特征:平移不改变图形的形状和大小。

(4)教师请学生举出生活中平移的现象。同学们顺利举出很多例子。突然,出现一个争论:

一个男学生说,汽车在高速路上行驶是平移。

一个女学生不同意,汽车在高速路上行驶不是平移。

    教师问:为什么不是平移?

    女学生答,因为汽车跑起来方向不固定,还会拐弯。

    教师说,对,平移的物体要沿着一定的方向移动一定的距离,现在汽车的方向不固定,所以不是平移。

    (5)课后议论:飞机在空中飞行、轮船在水面行使,也会拐弯,还有颠簸,为什么飞机、轮船是平移,汽车在高速路上行驶不是平移?

     1.3  什么是直线

     案例3  在“线段、射线、直线”的公开课上(听课教师数百人),执教老师希望学生了解“线段、射线、直线的定义”,并结合实际“理解直线公理”(经过两点有且只有一条直线)。(2006年10月23日)

    (1)部分教学片断

片断1  让学生直观感受直线。回忆小学时的相关概念,出示了一组图片,如图1的做广播操队列:(还有玉米地,高速路,铁轨)等,让学生感受生活中的直线。

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    片断2  让学生进行“队列活动”(站起来),体验:两点确定一条直线。

    活动1:教师让一个学生(甲)先站起来,然后请同学们自己确定,凡是能与甲同学共线的就站起来。一开始,你看看我、我看看你,没有人站起来,不一会四面八方有人站起来,最后全班学生都站起来。教师总结:过一点的直线是不唯一的,所以每个同学都可以与甲同学共线。(经过一点有无数条直线)。

    活动2:教师让两个学生先站起来,然后请同学们自己确定,凡是能与这两个同学共线的就站起来。学生很快作出反应,站起来了一斜排同学。教师总结:两点确定一条直线,所以有且只有一斜排学生与这两个同学共线。(经过两点有且只有一条直线)

    活动3:教师让三个学生先站起来,然后请同学们自己确定,凡是能与这三个同学共线的就站起来。当三个学生共线时,站起来了一斜排同学;当三个学生不共线时,有个别学生站起来(与其中两个同学共线),后来又坐下了,最终没有一个人站起来。教师总结:经过三点可能有一条直线,也可能没有直线。

整堂课,学生活动或回答问题不下四、五十人次,有的学生站起来等活动不下六、七次,课堂气氛很热烈。

(2)对“直线”的反馈调查

课后了解,学生很欢迎这堂课,都很高兴。

片断1  (调查学生)询问学生“今天这节课你学到了什么?”学生回答:学到了线段、射线、直线。询问学生所理解的直线是什么?学生不能回答。经追问“说说直线是什么样的图形?”学生还是答不上来。

片断2  (调查听课教师)把询问学生的情况向听课教师汇报,特别提出,学生学习了一节课直线但说不出直线是什么,各位老师,你们也听课了,可能还上过这个课题,你们说说直线是什么?

全场肃静,没有一个教师回答。

片断3   (调查执教老师)转而询问执教老师:你认为直线是什么?教师没有正面回答,更多的是介绍教学设计的意图。

(3)反思

情况表明,有三点特别值得反思。

(1)知识的封闭性。

首先一个表现是,不知道直线没有定义!

其次一个表现是,不明确直线的一些属性,教学中不能自觉渗透这些属性。如,无穷个点组成的一个连续图形,两端可以无穷延伸,很直很直,等等。

    但是,“连续”、“无穷”、“很直”等又是需要定义的,因而,这些词语都只是粗糙的解释。从公元前三世纪欧几里得《几何原本》以来,数学家曾作过直线定义的许多努力,但都没有成功,因为点、直线,平面是原始概念,不能严格定义。描述它们的基本办法是用公理来刻画,本节课中的“直线公理”:经过两点有且只有一条直线,正是直线的本质特征。试想,如果“直线”不是很直很直的,那经过两点就可以连出很多很多曲线;同样,如果“直线”不是两端可以无穷延伸的,那经过两点的线段就可以延伸出长短不一的很多很多直线。教学上也有一些处理技术,比如,本节课中先描述“线段”,然后,用线段来描述直线,把直线理解为线段两端无限延伸所形成的图形。

    (2)情景的局限性。

现实原型与数学模式之间既有联系更有区别,比如图1中的做广播操队列与直线之间可以找到很多不同,列表表示如下:

表1

内容项目

做广播体操的队列

直线图形

具体与抽象

有宽度、有高度

没有宽度、没有面积

粗糙与严格

学生之间凹凸不平、高低不齐

直线是“很直”的

一维与三维

三维立体的

一维的

有限与无限

有限个人组成

无限个点组成

连续与间断

间断的

连续的

特殊和一般

一个现实原形

许多现实原形的形式化抽象

实在与形式

生活中存在

生活中不存在

……

……

……

学生虽然在队列“前后对正、左右看齐”的活动中感受过直线的“直”,但在这些区别面前,还是需要教师去做“数学化”的提炼工作,把不是数学的“广播操队列”提炼成数学上的“直线图形”。没有这个提炼过程,学生获得的可能不是数学、或者是硬塞给他们的数学。

(3)活动的单一性

通过站起来,体验“两点确定一条直线”的活动,确实设计得很精彩,但给人的感觉是:更关注“唯一不唯一”的量性收获,缺少为什么“有且只有一条”的质性渗透,本质上是数学化过程不足。所以学生学了“直线公理”不会用“直线”去解释“公理”、或不会用“公理”去解释“直线”。这个活动还使我们想起“土豆能组成集合吗”的美国案例。

感悟:数学教师要有充实的数学知识,数学教学要有数学化的能力。

1. 4  土豆能组成集合吗

案例4  20世纪60年代,美国的新数学运动强调应当在中小学甚至幼儿园及早地引入“集合”概念,以下是在这一背景下发生的一个案例。

一个数学家的女儿由幼儿园放学回到了家中,父亲问她今天学到了什么?女儿高兴地回答道:“我们今天学了‘集合”’。数学家想道:“对于这样一个高度抽象的概念来说,女儿的年龄实在太小了。”因此,他关切地问道:“你懂吗?”女儿肯定地回答:“懂!一点也不难。”这样抽象的概念难道会这样容易吗?听了女儿的回答,作为数学家的父亲还是放心不下,因此,他又追问道:“你们的教师是怎样教的?”女儿说:“女教师先让班上所有的男孩子站起来,然后告诉大家这就是男孩子的集合;其次,她又让所有的女孩子站起来,并说这就是女孩子的集合;接下来,又是白人孩子的集合,黑人孩子的集合,等等。最后,教师问大家:‘是否都懂了?’她得到了肯定的答复。”这样的教学法似乎也没有什么问题,因此,父亲就以如下的问题作为最后的检验:“那么,我们能否以世界上所有的匙子或土豆组成一个集合呢?”迟疑了一会,女儿最终回答道:“不行!除非它们都能站起来。”(参见文[2])

1.5  四边形外角和定理的微型调查

    案例5  几年前(1999年6月28日),我们在《教学法》课的期末考试中,有意测试大学生的数学直觉猜想能力,同时也检验该教学设计的有效性。情况表明,我们对学生真实的思维活动了解是很肤浅的。

    (1)调查的设计

①测试对象:师范院校的本科大学生77人。

②测试题目:有一个四边形ABCD(中学指凸四边形),某人从AB内一点出发,沿周界走一圈回到原处,中间作了4次拐弯,最后与出发的方向相同,请从这一想象中提炼出一数学定理,并给出证明。

③测试意图:这道题目的设计背景是四边形外角和定理,或者说,以此作为发现四边形外角和定理的“认知基础”主要提供了3条信息。   

信息1:如图2,某人沿四边形ABCD的周界走了一圈,回到原处。

这条消息叙述了一个事实,从而反映出四边形的结构特征。但这一反映是很粗浅的(图形封闭,周长有界……),下面继续对这一事实进行过程与结构的两种描述,其实质是对四边形结构性质进行更深入的刻画。

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    信息2:将走一圈的过程分解为在4个顶点处作了4次拐弯。

    提供这一信息的意图是把“走一圈”的结果从数量关系上分解为4个外角之和∠1+∠2+∠3+∠4。

    信息3:将走一圈的结果表示为最后的方向与出发的方向相同。

    提供这一信息的意图是把“走一圈”的结果从数量关系上表示为转了360°。

    既然,信息2与信息3表示的是同一事实,其两种数量刻画就可以用符号联结起来,得出∠1+∠2+∠3+∠4=360°。

    (2)测试结果

对于不知道外角和定理的初中学生来说,这可能是一个“再发现”的过程,但对于大学生来说,定理已学过,主要的工作是将问题情境提供的信息加以辨认,然后从记忆储存中检索出相应的命题来,从辨认到检索有一个直觉猜想的过程,由于大学生有较多的已知信息作参照,能力水平也较高,我们预计,绝大多数的同学都能按照我们的意图作出回答。但结果却很意外,只有19.48%的人回答为外角和定理。回答分为四类,列表如下。

表2

    类别

外角和定理

内角和定理

其他回答

未回答

人数

15人

27人

25人

10人

百分比

19.48%

35.06%

32.47%

12.99%

25个“其他回答”中涉及n边形、向量、复数等广泛的方面,(参见文[3])

2  关于情景的认识

    上述各案例的一个共同特点是,既不乏创意,又引发思考,谈8点认识。

    2.1  一方面现实情景不是数学,另一方面现实情景是数学概念的原型,是学生认识抽象数学模式的“认知基础”

    原则上讲,案例1中钟面上的时针与分针、棱锥相交的两条棱、树叶上交错的叶脉等都只是“角”的具体原型,它们都不是数学概念“角”,也不是数学,连图形都不是。数学家所描述的世界并不是客观实在的世界,没有面积的点、没有宽度的线、两端无穷延伸的直线等,生活世界中从来就没有,谁也没见过、什么时候都拿不出来。所以,当教师“请同学们找出以上图片所含的角”时,其对“情景”与“数学”的关系至少是简单化了,其对线段与射线的关系也简单化了。

但是,具体现实情景具有抽象数学模式的必要因素和必要形式,是数学概念的原型、故乡和源泉,在数学教学中,这些具体现实情景是学生认识抽象数学模式的“认知基础”,它能生动显示相关概念的基本性质、具体呈现相关法则的基本结构。我们在数学教学中要积极创设抽象概念的现实情景,努力提供产生形式化概念的具体原型,尽可能贴近、再贴近学生的“数学现实”。

2.2  现实情景应具有数学对象的必要因素和必要形式

    戴维斯指出,一个好的“认知基础”,应当具有这样的性质:它能自动地指明概念的基本性质或相关的运算法则。

    在“乘法交换率”的教学中,有教师这样创设情境:用一个柄特别长的勺子喝水,勺子太长自己喝不到,怎么办?学生经过讨论找到“交换喝水”的办法:你拿勺子喂我喝,我拿勺子喂你喝,喝水问题圆满解决。这个“活动”固然有趣,办法也很好,但与“乘法”没有关系,亦离开了“数量不变”的交换率本身。交换率的本质是变化中的不变性,学生在这里学到的不是数学或不是“乘法交换率”。(参见文[4])

数学并不只是一种有趣的活动,仅仅使数学变得有趣起来并不能保证数学学习一定能够获得成功(数学上的成功还需要艰苦的工作)。有效的情景应该起始于精细的数学认知分析,使情景具有数学对象的必要因素和必要形式(这是一个创作与创造的过程),只注意情景的形式,缺失了数学及其本质(去数学化),会好心办坏事。

案例1中用“钟面上的时针与分针,棱锥相交的两条棱,树叶上交错的叶脉”等创设“角”的情境,具有角的必要因素和必要形式;案例2中用“游乐场的滑梯,天空中的飞机,大海里的轮船”等创设“平移”的情境,具有平移的必要因素和必要形式;案例3中用“做广播操队列、玉米地,高速路,铁轨”等创设“直线”的情境,具有直线的必要因素和必要形式。但创设生活化情景的基本目的是设计数学发现的拟真过程,更重要的工作还在后面的“数学化”提炼。

2.3  从具体情景到抽象数学模式之间有一个“数学化”提炼的艰苦过程

从钟面上的时针与分针等具体现实情景(原型)到抽象数学概念“角”(模式)之间,从天空中的飞机等具体现实情景(原型)到抽象数学概念“平移(模式)之间,从做广播操队列等具体现实情景(原型)到抽象数学概念“直线”(模式)之间,都有一个“数学化”的提炼过程,这个过程可以根据教学要求来决定它的长度与深度,但不能简单化或形式主义过一下。在案例1“角”的教学中,“几幅图片”一出示,马上就是“角”,接着就是“角的定义”,数学化过程几乎没有,实质上是借学生的“嘴”代替老师的“灌”(机械接受学习)。案例3中从广播操队列到直线图形之间也缺少必要的渗透与揭示,所以学生学了直线不知道直线。案例2能启发学生从二个方面(几何图形,运动方向,移动距离)去思考以上几种运动现象有什么共同特点,是“数学化”的一个努力。

    数学化过程需要不同程度地经历:辨别、分化、类化、抽象、检验、概括、强化、形式化等步骤。在教学条件下,通常的做法是从大量具体实例出发,从学生实际经验的肯定例证中,以归纳的方法概括出一类事物的本质属性,通常是沿着:“具体——半具体、半抽象——抽象”的路线前进。较为关键的是如下5个步骤:

    (1)辨别一类事物的不同例子;

    (2)找出各例子的共同属性;

    (3)从共同属性中抽象出本质属性;

    (4)把本质属性与原认知结构中适当的知识联系起来,使新概念与已知的有关概念区别开来;

    (4)把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去,以明确它的外延;

    这个过程很重要,体现了数学学习的一个核心价值——数学化。弗赖登塔尔认为,与其说是学习数学,不如说是学习“数学化”。

2.4  别把“共同的特征”误认为“本质属性”

“共同的特征”只是“本质属性”的必要条件。“数学化”的过程尤其要注意的是,别把“共同的特征”误认为“本质属性”。如果提炼的数学化过程“夹生”,非本质属性泛化,那么,“认知基础”会异化为“认知障碍”。

案例4学“集合”的情景中,“人”、“站起来”、“幼儿园里”、“男女性别”、“皮肤颜色”等都是组成集合的非本质属性,一次又一次的重复,会强化两个非本质的共同属性:

(1)“站起来”的动作;

    (2)组成集合的元素具有“相同属性”:或性别相同、或皮肤颜色相同。

    当父亲问“能否以世界上所有的匙子或土豆组成一个集合”时,女儿回答:“不行!除非它们都能站起来”,实质上已把“站起来”当作集合的一个要素了,土豆“不站起来”就不能组成集合吗?这是非本质属性泛化。如果女教师当初让坐着的学生也组成集合,让坐着的学生与站着的学生同时组成集合,就可以避免“站起来”的强化,如果让人与桌子也组成集合,应有助于淡化“组成集合的元素有相同属性”的误解。

    数学是去掉具体事物的物理性质、化学性质后的抽象结构或模式。

中国数学教育的一个特色与优势正是,通过“变式教学”来消除“共同而非本质属性”、突出本质属性,使得以讲授法为主体的大班教学依然能进行“有意义”的数学学习。(有意义接受学习)

2.5  注意情景的局限性

    最好的情景都会有局限性,它不像数学概念那样简洁、纯净和准确。在案例1中,钟面上的时针与分针到底代表线段还是代表射线并不明确,一开始作为角的一个原形时,教师心里认定两针代表射线(所以“请同学们找出以上图片所含的角”),到了讨论“两条线段是否组成角”时,教师又让两针代表线段,造成自己“无言以对”。之所以会有前后两个认定,源于情景的模糊性和局限性。

    同样,在案例2“平移”的教学中,“汽车在高速路上行驶’’所引发的争议,也与情景的局限性有关。比如汽车在二环线上行使,微观看是直线运动,宏观看是圆周运动,更宏观一点还是在地球表面上的旋转,情景的这种模糊性,是数学概念所没有的(数学概念的纯净性也同时失去了具体情景的丰富性)。

    在案例3的教学中,现实情景的有限性难以表达抽象直线的无限性,现实情景的离散性难以表达抽象直线的连续性(参见表1)。一条高速路,当着眼于距离时能提炼出线段,当着眼于笔直延伸时能提炼出直线,当着眼于面积时能提炼出矩形,当着眼于用料时能提炼出长方体。生活世界有自身不可克服的局限性,它不可能给我们提供太多的理性承诺,学校教育恰恰应该着眼于社会生活中无法获得、而必须经由学校教育才能获得的经验。

    情景的局限性还给我们寻找恰当的情景带来困难,这时我们常常采用经过加工的拟真情景——源于3见实而又不拘泥于真实,关键只在于这种情景应具有相关数学知识的必要因素与必要形式,案例5中某人沿四边形周界走一圈,正是半具体、半抽象的“拟真情景”。又如,有的教师或资料提问:“白纸对折64次,有多高?”这只能理解为“拟真情景”,白纸对折1、2、3、4、5、6次不难,是真实情景,但继续下去,不到10次纸就会折断,对折10次都不可能,对折64次只能是一种想象——数学思维实验。不了解这些情况,万一学生提出“对折64次根本不可能”时,教师难免又会“无言以对”。

2.6  用数学去解决实际问题时,可以直接给情景一个数学模型

一方面,在数学化提炼时我们要注意情景还不是数学,要注意情景的代表性,要体现情景的数学化过程。另一方面,在用数学去解决实际问题时,我们又会直接给情景一个数学模型,如“从3时整开始,在1分钟的时间内,3根针中,出现一根针与另外两根针所组成的角相等的情况有            次。”(见文[5])这时,时钟的针直接就组成角,这与从时钟情景提炼数学模式是两会事。

2. 7  情景不要人为复杂化了

    案例5中的情景是“四边形外角和定理”的一个很好解释,但测试表明,人沿四边形周界走一圈的情景,存在两个难点:(1)弄不清拐弯处的转角是内角还是外角,很多老师都认为转的是内角;(2)弄不清4个拐弯处的转角如何相加,甚至怀疑,是不是转角互相抵消才使人回到原处。这些难点使得认识“人沿四边形周界走一圈”比认识“四

边形外角和定理”更加困难,因而,用于定理发现时,只有19.48%的大学生回答为四边形外角和定理(参见表2)。

这个测试提醒我们,对于情景创设不要想当然,第一,应该有精细的数学认知分析,到底从“四边形内角和定理”到“四边形外角和定理”学生存在哪些困难?根据这些困难去创设情景才能有的放矢;第二,应该有可靠的实践检验,到底这个设计是不是比别的设计效果好,这个情景用于定理发现好还是用于定理理解好等等,应该用事实说话;第三、测试检验时还要注意,学生有没有从课程安排中获得“下节课就要讲四边形外角和定理”的暗示,学生有没有课前预习或临时翻书,也不要把一部分学生明白当作所有学生都明白。

总之,情景是为内容服务的,创设情景的一个目的是设计数学发现的过程,如果情景本身也很抽象、很深奥,那就不但不能帮助学生建立感性经验与抽象概念之间的联系,反而徒然增加“认知障碍”,“时间不够”、“学生启而不发”等现象往往与情景的人为复杂化有关。

2.8  防止形式主义

    我们见过这样的案例,为了让学生“发现”三角形两边之和大于第三边,教师让学生分组摆小木棍合作交流了十几分钟。我们感到这有形式主义与繁琐哲学之嫌。第一、有学生说,这样的活动小学就做过(初中教学小学化!),结论也是已经知道的(那还煞有介事地发现什么?);第二、学生已经学了“两点之间,线段最短”,可以摆脱小学的经

验归纳,提供更高认知水平的数学教学——说清道理,理性思维;第三、用十几分钟的时间也实在太多了。

    我们还见过这样的做法,为了培养学生的“数感”,要求学生用橡皮刻数字1,2,3,……。

    有的地方还规定,每一节课都要有情景,导致形式主义泛滥,繁琐哲学流行。有个教师讲“利息”,问春节大家最喜欢什么,想引出“压岁钱”存利息,而学生却说最喜欢放烟花、看节目等,好不容易引出了“压岁钱”,有人说拿到1000多元、有人说拿到10元,这拿到10元的同学感到有刺激,一节课什么都没有听进去。我们说,形式主义与繁琐哲学的情景实际上是一种“负情景”,它既增加教学夹生的风险,又进行了生命的奢侈消费,如同数学上负数比零更小,教学中负情景不会比零情景更好。

    以上的粗浅讨论表明,数学教学中的情景创设有许多理论与实际问题需要我们去探索,我们的教学智慧既要走进现实生活又要超越现实生活,既要贴近学生的生活又要丰富学生的生活。在实施取向上,要用更人性化的态度来学习理性化的数学,要用更实践性的途径来学习理论性的数学,要用更直观性的情景来学习抽象性的数学,要用更艺术性的设计来学习形式化的数学,要用更直觉性的思维来学习逻辑性的数学(参见文[6])。

 

参考文献

1  官云春.由——则教学悖沦引发的思考[J].中小学数学(教师版),2006,6

2  罗增儒.中学数学课例分析[M]西安:陕西师范大学出版社,200l

3  罗增儒. 李三平.大学生直觉猜想能力的一次小测试[J].数学教育学报,2000,2

4  张奠宙.教育数学是具有教育形态的数学[J].数学教育学报,2005,8

5  罗增儒. 一道时钟竞赛题的商榷[J].中学数学月刊,2007,2

6  罗增儒.教学的故事数学的挑战一一数学教学是数学活动的教学.全国青年数学教师优秀课说课与讲课大赛精粹[M].天津:新蕾出版社,2005,6

7  奕庆芳,朱家生.数学情景教学研究综述[J].数学教学通讯 2006,3

 

 

 

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