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语言视角下的数学教学  

2009-09-30 11:40:57|  分类: 教育视窗 |  标签: |举报 |字号 订阅

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语言视角下的数学教学

南京大学哲学系 郑毓信 西南大学数学与统计学院 肖 红  

2009-9-22 

摘要:积极开展数学教学与学习活动的语言研究是数学教育深入发展的必然要求。  主要包括:第一,数学学习在很大程度上可以看成一种语言学习,我们应注意分析这种活动的文化含义;第二,教师在教学中应当很好地处理日常语言与数学语言之间的关系,特别是,我们既应对学生的非正规解释持接受与理解的态度,又应注意维护数学的正式意义;第三,在注意培养学生“符号感”的同时,数学教师也应努力发展自己的“语言意识”。

关键词:语言;数学教学;数学学习

    中图分类号:G623.5  文献标识码:A  文章编号:1000-0186(2009)09-0047-07

    积极开展数学教学与学习活动的语言研究是数学教育深入发展的必然要求,这不仅从一个角度清楚地指明了改进数学教学的努力方向,也直接涉及数学教育的基本目标和数学的基本性质。以下就分别对此作出具体论述。

    一、数学的语言观念

    (一)数学:科学的语言

    这是“数学的语言观念”的首要内容:与中文、英语等一样,数学也可被看成一种语言——科学的语言,这也就是指,数学为自然科学的研究提供了必要的概念工具。

    例如,著名物理学家波尔曾指出:“数学不应该被看成是以经验的积累为基础的一种特殊的知识分支,而应该被看成普通语言的一种精确化,这种精确化给普通语言补充了适当的工具来表示一些关系,对这些关系来说普通字句是不精确的或过于纠缠的。”[1]类似地,爱因斯坦也曾明确肯定了数学作为自然科学语言的特殊性与重要性:“人们总想以最适当的方式来画出一幅简化和易领悟的世界图像;于是它就试图用他的这种世界体系来代替经验的世界,并来征服它。这就是画家、思辨哲学家和自然科学家所做的,他们都按照自己的方式去做。……理论物理学家的世界图像在所有这些可能的图像中占有什么地位呢?它在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性,这样的标准只有用数学语言才能达到。” [2](101)

    在此应特别强调数学对于自然科学中概念创造的特殊重要性。例如,正是为了对微观粒子的“波粒二象性”作出描述,奥地利物理学家薛定谔(E.Schrodinger)引进了“波函数”,并用所谓的“薛定谔方程”来刻画微观粒子的变化情况。然而,由于在当时薛定谔尚未能够对波函数的物理意义作出清楚说明,他主要是从数学中借。用了必要的概念工具。这也就如当时学术界中流行的一首小诗所说:“薛定谔运用波函数,能算出不少好东西;要问函数的意义怎么样,却又谁都说不上。”后来,通过德国物理学家玻恩(M.Born)的工作,波函数的物理意义才得到了明确解释:波函数表明物质波乃是电子分布的几率波。

数学能起到上述作用并非偶然:这不仅是由认识的本质所直接决定的,也是数学与自然科学现代发展的一个必然结果。

具体地说,这正是认知科学现代研究的一个重要结论:认识不是纯粹被动意义上的反映,而是一个主体在其中发挥了重要作用的能动过程,特别是,任何新的认识都必然地依赖于主体已有的知识和经验,任何深入的理论研究都必须借助于一定的概念框架。

    这又是科学现代发展的一个重要特点,即其与直接经验的距离变得愈来愈远。现代的科学理论主要应被看成一种“假说——演绎系统”:其中的普遍原理已不再建立在对于经验事实的直接归纳之上,而是一种暂时性的假说,其真理性完全取决于由此推导出的具体命题能否得到经验的证实。另外,由于现代数学的研究对象已经由具有明显直观背景的量化模式扩展到了可能的量化模式,因此,“理论科学家在探索理论时,就不得不愈来愈听从纯粹数学的、形式的考虑”,[2](262)这也就是指,“我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系起来的定律,这些概念和定律是理解自然现象的钥匙”。[2](316)

综上可见,我们应明确肯定数学作为自然科学语言的重要性。这正如著名科学家彭加莱指出的:没有这种语言,我们将永远不了解世界的内部和谐。[3]

(二)从教学的角度看,数学学习可被看成一种语言学习

    上述的“数学的语言观念”显然具有重要的教育含义,特别是,这从一个角度为以下事实提供了直接的解释:数学何以与语文、外语一起被看成基础教育的主要内容,因为这三者都可被看成一种语言学习。

    从这一角度去分析,我们在教学中就应当特别重视“数学地说”与“数学地写”,这两者更不应被看成完全是为数学知识和技能的学习服务的,正如《学校数学课程与评估的标准》(Curriculum and Evaluation Standards for School  Mathematics)这一美国新一轮数学课程改革的主要指导性文件所指出的,“帮助学生学会数学地交流”应被看成数学教育的一个基本目标。[4]特别是,数学语言的转变更可看成学生数学水平不断提升的一个重要标志,即由日常语言逐步转向了数学的符号语言,以及由较为初等的数学语言(如代数语言)逐步过渡到了较为高级的数学语言(如集合论语言)。

    也正因为数学学习可以被看成一种语言学习,我们就可由一般的语言教学特别是外语教学获得关于如何改进数学教学的有益启示。例如,学习外语的最佳途径就是实际进入到相应的情境之中,如到英国去学习英语,由此我们也就可以立即联想到:这也是数学教学的一个有效途径,即如何能够为学生创设出相应的“数学情境”。当然,对于后者我们不应简单地等同于“现实情境”,这也是外语教学给予我们的一个重要启示:在外语教学中我们既不应唯一地强调“以语法学习为主”的传统方法,也不应片面地强调“情境教学”这种新的教学方法,因为这两者都有其一定的优点和局限性,在数学教学中我们也应注意两者的必要互补。对于后一论题在以下我们还将围绕“情境设置”与“数学化”的关系作出进一步的分析。

    在此我们应特别强调这样一点:学习使用一种语言事实上就是进入了一种文化,即会使人们养成一定的行为方式与思维方式。这正如科尔(M.Cole)等人指出的:“符号的发展历史把我们引向指导行为发展的一个更为基本的规律……这一规律的核心在于:儿童在发展中开始使用在先期是由别人使用在他身上的相同的行为方式,这样,这一儿童就获得了由社会所传递给他的行为的社会形式……就其最初的使用而言,符号总是社会交流的一种方式,一种影响别人的方法……。” [5]数学语言的学习事实上也就是对于“数学文化”的学习或继承;当然,后者主要又是通过潜移默化的方式发挥作用的

例如,由简单的比较即可发现,数学课堂中所使用的语言与其他一些学科是很不相同的。如果说语文课堂中的语言在很大程度上是个性化的,即集中地反映了各个主体的个人感受与情感,那么,数学课堂语言就是“非个性化的、客观的、标准化了的”。[6]在数学教学中我们使用的主词常常是“我们”,而非“你”和“我”;在数学教学中我们主要关注的是对象的客观性质,如平行四边形有什么性质,而非各个主体的主观感受或是其头脑中实际呈现的“心理图像”,等等。正是通过这样的潜移默化,我们不知不觉地养成了这样的思维习惯或行为方式:“在研究中我们应当采取纯客观的、理智的态度,而不应掺杂有任何主观的、情感的成分。”

下面是我们从小学起就十分习惯的一种谈话    方式:“这到底有多大?”“这到底有多重?”“这是否真的是一个平行四边形?”“这三个点是否真的重合?”……显然,这对于我们养成“精确的、定量的、严密的”思维方式具有十分重要的影响。这正如《90年代的中小学数学》这一指导性文件中所指出的:“告诉一个小学生第二次世界大战持续了十年,他会相信;告诉他两个4的和为10,就会引起争论了。” [7]

    二、数学学习与教学活动中的语言行为

    这是数学与其他自然科学研究相比的一个明显不同之处:数学的研究对象并非物质世界中的真实存在,而是抽象思维的产物。例如,我们只能见到某一个人、某一棵树、某一间房,而绝不会见到作为数学研究对象的真正的“一”(我们在此应对“一”的概念与相应的符号作出明确区分);类似地,我们也只能见到圆形的太阳、圆形的车轮,而绝不会见到作为几何研究对象的真正的“圆”(在此也必须对“圆”的概念与相应的图形,如纸上所画的圆,明确地加以区分)。因此,“要想在语言框架之外为数学定位是十分困难的”,这也就是指,正是相应的符号充当了数学对象的“物质承载者”。[8](55)

    显然,从这样的角度去分析,我们就可以清楚地认识数学认识(包括数学学习)活动的特殊性:如果说数学创造必然地包含一个“外化”的过程,即借助于符号(包括文字符号与数学符号)在外部为抽象的数学概念提供一个“物质承载者”,那么,新的认识活动就以在自己头脑中重新建构起相应对象作为必要的前提,这也就是指,与上述的“外化”相对立,在此又必然地有一个“内化”或重新建构的过程。

    这又是“内化”或“重新建构”活动的一个基本含义:这并不是指在头脑中不断去重复对象的定义,而是如何建立起一个适当的“概念心象”(concept image),特别是,如何能将新的认识对象与主体已有的知识和经验(更为一般地说,就是认知框架)联系起来,从而使之获得确定的意义。

    也正因为这是一种“意义赋予”的过程,所以从这样的角度去分析,人们在数学教学中往往特别重视“情境设置”就完全可以理解了。这显然有利于调动学生已有的知识与经验,为新的学习活动提供必要的基础。然而,对于所说的“情境”,我们不应等同于“生活情境”,更不应以“生活化”完全取代数学课所应具有的“数学化”,毋宁说,数学学习必定包括了“去情境化”和“去个性化”。这正是相关的教学实践、特别是新一轮数学课程改革给予我们的一个重要启示或教训。

    显然,上述的分析也为我们如何去改进数学教学特别是在教学中应当如何去使用语言提供了直接的指导。

    第一,我们应当明确反对关于数学的形式主义观点,即认为数学的对象是纯粹的符号(符号系列),对此我们无须也不可能作出任何解释,我们在数学中所做的也仅仅是按照指定法则去对符号(符号序列)进行机械的操作。恰恰相反,我们应当明确肯定数学认识活动的解释性质,即应当高度重视数学符号的意义分析。这正如布朗(T.Brown)指出的:“如果任一数学表达式的产生可以被看成一种行动,这一表达式的意义自然也就从属于超越表达式本身意义的解释的行为。” [6](27)

第二,就中小学的数学教学而言,我们应特别重视日常语言与数学语言的关系。首先,为了帮助学生很好地理解抽象的数学概念,教师在教学中不应停留于严格的数学语言,而应注意使用日常语言对相关内容作出必要解释。例如,比喻与类比在数学教学中同样具有广泛应用(如在讲解方程理论时,人们常常会用到“天平”这样一个比喻);另外,数学中有很多术语,如极限、切线等,就是由日常语言直接借用过来的。其次,在充分肯定比喻和类比等在数学教学中应用的合理性的同时,我们又应清楚地认识这些做法的局限性,即必须帮助学生较好地实现所说的“去情境化”,以及由日常意义过渡到严格的数学意义,因为如果我们对此缺乏足够自觉性的话(如始终停留于从字面上去理解“极限”等数学概念),就完全可能由于日常意义与数学意义的混淆而造成错误的认识。

第三,从上述的角度去分析,我们可以立即看出“教师说、学生听”这样一种传统的教学模式的局限性,因为所说的“意义赋予”或“建构”最终都必须由各个学生相对独立地去完成。与此相对照,我们应当积极鼓励学生由“被动地听”转向“主动地说”“数学地谈论”,教师则不仅应当善于表达,而且也应善于倾听,即应当鼓励学生对于所学的数学概念或结论说出自己的理解。当然,这又是教师在这方面所应采取的一个基本立场:我们既应对学生的“非正规解释”持更加理解的态度,而不是简单地予以否定,又应注意维护数学的正式意义。由此可见,教师不仅应当善于倾听,而且应有针对性地进行引导,即帮助学生由原先的“非正规解释”逐步过渡到正规的理解。

    在此我们应特别提及书面语言与口头语言之间的重要区别。由于课堂教学主要是借助于口头语言进行的,它从属于各个特定的环境,往往是不完整和不精确的,所以,上述的转变就不仅是指如何能使学生的语言变得更加准确、更加清楚、更加简洁,而且是指“使学生从相当熟练的、占优势的、非形式的口头语言转到通常被视作带有很多数学活动特点的形式的书面语言”。” [9](189-190)

第四,数学课堂上的语言主要应被看成具有对话的性质,我们应当以促进学生的自我意识、特别是必要的反思作为对话的基本目标。因为正如认知心理学的现代研究所已清楚表明的,后者正是促成学生较好地实现观念转变包括由“非正规解释”向“正规理解”转变的一个必要条件。

应当强调的是,从社会建构的角度去分析我们可更为清楚地认识“对话”对于学习与教学活动的特殊重要性。这正是教育领域中社会建构论的一个基本论点:“意义赋予”主要是一个社会的过程,在很大程度上依赖于不同主体之间的互动,包括交流、讨论、批判、反思与改进等。这也就是指,“言辞的意义并非是由言说者所产生的,……意义是主体与他者的共同产物”。[10](153-154)

    从这样的角度去分析,我们就不仅应当积极鼓励师生间的对话,而且也应大力提倡学生间的对话,包括积极的交流与辩论。正如贝尔(P.Bell)等人所述:我们应当“鼓励学生通过镌刻系统使他们自己的思维可视化,通过参与辩论活动交流他们的观点,通过采用更科学的标准——这些标准通过所运用的工具得以提升——朝向对于问题更为统整的理解而努力”。[11]另外,由英国学者梅森(J.Mason)关于数学证明的以下论述我们可以获得关于在教学中应当如何自觉地去应用这些思想的直接启示:我们应当首先说

服自己,然后再说服朋友,直至最终说服“敌人”。

第五,为了更清楚地表明通过对话促进学生的自觉认识与必要反思对于数学学习的特殊重要性,我们还可提及这样一点:  “数学的学习不是一个连续过程,它必须重新组织、重新认识,有时甚至要与以前的知识和思考模式真正决裂。” [12]例如,抽象水平的不断提高就是这里所说的“重新认识”的一个重要内涵,如随着数学学习的深入,  “数”的概念经历了多次扩展,我们就必须重新去认识,甚至用新的观点去取代原先已建立的一些认识,如“乘法总是使数变大”“减法总是较大的数减去较小的数”等。由于在经历了所说的“扩展与深化”以后人们所使用的往往仍然是原来的符号,如尽管数的范围不断得到了扩展但相关的运算所使用的仍然是“+”“-”“×”“÷”等符号,所以,在数学中我们就突出地遇到了“符号的确定性”与“意义的变化性”这样一对矛盾。这就更为清楚地表明了通过对话促进学生的自觉反思并最终实现观念的必要更新的重要性。

三、“符号感”与语言意识的养成

    (一)发展学生的“符号感”

    从语言的角度去分析,数学具有自己特殊的符号系统,既包括简单的数字符号,也包括经由现代的数理逻辑研究而发展起来的一整套符号体系。

人们普遍认为,与日常语言相比,简单性、严密性和普遍性是数学的符号语言的主要优越性。这一看法有一定道理,但应指明的是,数学符号的更大优越性还在于它的“可操作性”,这是指,在很多情况下,我们可完全摆脱符号的意义并发展起相应的形式操作法则,也就是所谓的“算法”。(也正因为此,一些学者提出,我们应对“缩写意义上的符号”与“操作意义上的符号”作出明确区分,并认为只有后者才是数学符号的本质所在。)

例如,关于如何求取两个自然数的最大公因数或最小公倍数的欧几里得方法以及求解一元一次方程的固定程序(第一,去括号;第二,去分母;第三,移项;第四,合并同类项;第五,同除以未知数的系数)都可以看成算法的典型例子。吴文俊先生指出,只需将“四则难题”与代数方法作一比较我们就可清楚地看出算法化的意义:“四则难题制造了许许多多的奇招怪招。但是你跑不远、走不远,更不能腾飞……可是你要一引进代数方法,这些东西就都变成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了,而且每个人都可以做,用不着天才人物想出许多招来才能做,而且他可以腾飞,非但可以跑得很远而且可以腾飞。所以四则难题用代数取而代之,这是完全正确的,对于数学教育这是非常重要的。” [13]如著名数学家迪多内(J。Dieudonne)指出的:“好的符号往往伴随着易于使用它们的算法:我们把这理解为计算或常规的推论,就是说一旦确定之后就是永远如此,对它们的应用几乎是自动化的,不需要每次从头做起,这样,极为明显地简化了数学语言,并且可以集中注意力于证明的基本要素。” [14]

正如前所述,符号的应用为数学的抽象提供了必要的“物质形式”。正如著名哲学家怀特海指出的:“在代数中,思想上限于特定数的限制取消了。我们写x+y=y+x’,在这里,x和y是任何的两个数。这样,对模式的强调(不同于模式所涉及的特殊实体)增强了。” [15]当然,在现代数学中,x和y所代表的未必是具体的数量,也是各种可能的对象,(x+y)所代表的既可能是(刚性)运动的叠加,也可能是变化的复合,等等,从而也就体现了更高程度上的抽象。

综上可见,数学教学特别是基础数学教学的一个基本目标是,应当帮助学生较好地掌握数学的符号语言,包括清楚地认识引入数学符号的必要性,并能借助符号实现数学的抽象,熟练掌握相关的算法,以及利用算法去解决问题。

从这样的角度去分析,在数学课程标准中明确引入“符号感”这样一个术语并把“发展学生的符号感”列为数学教育的主要目标之一就完全可以理解了。后者即是指“能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,并用符号来表示;理解符号所代表的数量关系和变化规律;会进行符号间的转换,能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题”。[16]另外,在笔者看来,之所以选择“符号感”(symbol  sense)这样一个术语,主要表达了这样一个理念:我们应当努力消除学生对于数学符号的“陌生感”和“畏惧感”,并能逐步习惯乃至乐于与符号打交道,包括逐步养成对于数学符号的一定的敏感性和鉴赏能力。

    (二)数学教师语言意识的养成

    就数学教师而言,我们不仅应当发展起较强的“符号感”,而且应养成一定的“语言意识”,即应当对教学活动中的语言现象具有较强的敏感性,并应善于从语言的角度去分析问题。由此可见,这里所说的“语言意识”与“符号感”相比  不仅具有更为广泛的意义,也更加突出了由不自觉状态向自觉状态的必要转变。

例如,以下可以被看成“语言敏感性”的一个具体表现,即应当清楚地认识数学抽象往往是与相应词语的词性改变直接相关联的,如由量词(3个“苹果”,3座“楼房”等)转变成了纯粹的数词(“3”),后者因此而具有了本体论方面的直接承诺:与一般名词一样,我们也可具体地去谈及数词的指称意义,包括进一步研究相应对象的性质,如数的奇偶性等。可以说,人们所使用的语言事实上也可被看成集中地体现了他所具有  的数学观与数学教学观。

再者,如果说这正是人们在使用自然语言时的一个普遍做法,即主要集中于词语的指称意义而不是词语本身,那么,这就是数学中对于符号的使用的一个特殊方面:数学符号事实上具有双重的性质,它既有一定的指称意义,其本身有时也可被看成直接的对象。例如,数学中关于质数与合数的区分既是指数字的指称意义;也指其所代表的数;与此不同,关于分数与小数的区分则主要着眼于符号本身,而非它们的指称意义。另  外,这也是数学中各种算法(如分数除法的“颠倒相乘”等)的一个共同特征,即其同样以相关的符号(符号序列)作为直接的对象,而完全不去考虑它们的指称意义。

由于对于数学符号的双重性质人们通常并不具有清楚的认识,所以,就如著名数学教育家皮姆(D.Pimm)所指出的,这既是数学的力量所在,但也可造成一定的消极后果:“数学的符号方面,以及数学家对于符号与对象的故意混淆,再加上数学对象自身的抽象性质,进一步强化了数学是一种语言这样一种观念。这一观点有一定作用,也有一定危险。” [9](207)

从教学的角度看,这就是所说的消极后果最为重要的一个表现:由于算法的应用似乎完全不用顾及符号的意义,所以,对于算法的突出强调就很容易导致所谓的“机械学习”,即完全集中于算法的记忆和应用,却忽视了对其合理性的必要理解。这事实上也可被看成上述的形式主义观点何以在数学中始终具有较大影响的一个直接原因。

由此可见,搞好数学教学的关键之一是应当很好地处理理解与记忆之间的关系,特别是,理解应被看成熟练掌握各种算法的一个必要前提。

在笔者看来,我们可以从这一角度对中国数学教学的一些传统作出更为深入的分析,包括如何克服其局限性并作出新的必要发展。例如,“熟能生巧”,其实“熟”未必“生巧”,甚至还可能“生拙”“生烦”,因此,相对于纯粹被动意义上的“熟能生巧”而言,我们应更加强调如何能由相应的不自觉状态转向更为自觉的状态。例如,在坚持反复练习的同时,我们应经常问及这样三个问题:为什么要从事这些练习?应当如何去从事练习?其实际效果究竟如何?通过这些问题的深入思考我们能较好地实现由机械练习向理解学习的重要转变,包括在理解与记忆之间实现适当的平衡。

最后,这也是“语言意识”的又一重要内涵,即应当善于从各个不同角度对数学学习与教学活动中的语言现象作出深入分析。

如前所述,我们在此首先应清楚地看到“语言的文化负载”,特别是,除去从宏观的角度进行分析,即聚焦于“数学文化”以外,我们还可依据师生所使用的语言对相应的“数学课堂文化”作出具体分析。以下就是这方面的一个具体例子:“我从孩子们的日记中看到他们分析事理的能力愈来愈强;从课堂中听到他们使用的词汇愈来愈清晰有理;从他们的同学互动中感觉到容忍与爱心的滋生,一切的一切,让我觉得不只是与他们共同讨论数学而已,重要的是培养一个会做理性批判思考、会主动学习、会容忍异己欣赏别人以及有世界观的国民。” [17]

语言的分析也有益于我们更为深入地认识数学学习(教学)活动的社会性质与普遍意义,这不仅直接关系到了学生的认知能力,而且关系到了学生“身份”的形成与变化。在笔者看来:“语言不只是交流的工作,主体的形成也依赖于它。” [10](147)容易看出,这事实上也就对数学教学中的语言使用提出了更高要求。 

 

参考文献:

[1]波尔.原子物理学和人类知识论文续篇[M].北京:商务印书馆,1978.73.

[2]爱因斯坦.爱因斯坦文集[M].第一卷.北京:商务印书馆,1976.

[3]彭加莱.科学的价值[M].北京:光明日报出版社,1988.190.

[4]NCTM.Curriculumand Evaluation Standards for SchoolMathematics [M].1989.

[5]M Cole,Y Engestrom. A Cultural-historical Approach to Distributed Cognition [A].G Salomon.Distributed Cognition:Psychological and Educational Consideration [C].Cambridge University Press,1993.6—7.

[6]P Emest.Postmodernism and the Subject of Mathematics [A].M Walshaw.Mathematics Education  within the Postmodern [C].Information Age Pub-

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[7]国际展望:90年代的数学教育(ICMI研究丛书之一)[M].上海:上海教育出版社,1990.79.

  [8]T Brown.Mathematics Education and Language—Interpreting Hermeneutics and Post Structuralism [M].Kluwer,1997.

  [9]D Pimm.Speaking Mathematically—Communication in Mathematics  Classroom [M].Routledge,Kegan Paul,1987.

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[11]贝尔,等.分布式认知:特征与设计[A).乔纳森,等.学习环境的理论基础[C].上海:华东师范大学出版社,2002.128.

[12]M Atique.What Can We Learn from Educational  Researchat theUniversityLevel?  [A].D Holton,et a1.The Teaching and Learning at University Level:An ICMI Study [C].Kluwer,2004.

[13]吴文俊.数学教育现代化问题[A].《21世纪中国数学教育展望》课题组.21世纪中国数学教育展望 [C]北京:北京师范大学出版社,1993.19—20.

[14]迪多内.论数学的进展[A].中国科学院自然科学史研究所数学史组.数学史译文集[C].上海:上海科学技术出版社,1981.126.

[15]怀特海.数学与善[A工林夏水.数学哲学译文集[C].北京:知识出版社,1986.349.

[16]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)  [S]北京:北京师范大学出版社,2001.4.

[17]林文生,邬瑞香.数学教育的艺术与实务[M].台北:心理出版社,1999.21—22

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