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小学数学思想方法的梳理(三)  

2012-08-29 10:42:07|  分类: 小学数学教学研究 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小学数学思想方法的梳理(三)

五、方程和函数思想

1.方程和函数思想的概念。

方程和函数是初等数学代数领域的主要内容,也是解决实际问题的重要工具,它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系,而且它们之间有着密切的联系,因此,本文将二者放在一起进行讨论。

(1)方程思想。

含有未知数的等式叫方程。判断一个式子是不是方程,只需要同时满足两个条件:一个是含有未知数,另一个是必须是等式。如有些小学老师经常有疑问的判断题:χ=0 χ=1是不是方程?根据方程的定义,他们满足方程的条件,都是方程。方程按照未知数的个数和未知数的最高次数,可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等,这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号(常用χ、y等字母)表示,根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知的对立统一。

(2)函数思想。

设集合A、B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系?,如果对于集合A中的任意一个数χ,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称y是χ的函数,记作y=?(χ)。其中χ叫做自变量,χ的取值范围A叫做函数的定义域;y叫做函数或因变量,与χ相对应的y的值叫做函数值,y的取值范围B叫做值域。以上函数的定义是从初等数学的角度出发的,自变量只有一个,与之对应的函数值也是唯一的。这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系,一个变量的取值发生了变化,另一个变量的取值也相应发生变化,中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化,这样的函数是多元函数。虽然在中小学里不学习多元函数,但实际上它是存在的,如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系:V=πr?h。半径和高有一对取值,体积就会相应地有一个取值;也就是说,体积随着半径和高的变化而变化。函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系,因变量随着自变量的变化而变化,通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则,从而构建函数模型。函数思想体现了运动变化的、普遍联系的观点。

2. 方程和函数的关系

(1)方程和函数的区别。

从小学数学到中学数学,数与代数领域经历了从算术到方程再到函数的过程。算术研究具体的确定的常数以及它们之间的数量关系。方程研究确定的常数和未知的常数之间的数量关系。函数研究变量之间的数量关系。

方程和函数虽然都是表示数量关系的,但是它们有本质的区别。如二元一次不定方程中的未知数往往是常量,而一次函数中的自变量和因变量一定是变量,因此二者有本质的不同。方程必须有未知数,未知数往往是常量,而且一定用等式的形式呈现,二者缺一不可,如2χ-46。而函数至少要有两个变量,两个变量依据一定的法则相对应,呈现的形式可以有解析式、图象法和列表法等,如集合A为大于等于1 、小于等于10的整数,集合B为小于等于20的正偶数。那么两个集合的数之间的对应关系可以用y2χ表示,也可以用图象表示,还可以用如下的表格表示。

χ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

人们运用方程思想,一般关注的是通过设未知数如何找出数量之间的相等关系构建方程并求出方程的解,从而解决数学问题和实际问题。人们运用函数思想,一般更加关注变量之间的对应关系,通过构建函数模型并研究函数的一些性质来解决数学问题和实际问题。方程中的未知数往往是静态的,而函数中的变量则是动态的。方程已经有3000多年的历史,而函数概念的产生不过才300年。

(2)方程和函数的联系。

方程和函数虽然有本质的区别,但是它们同属代数领域,也有密切的联系。如二元一次不定方程aχ+byc0和一次函数ykχ+b,如果方程的解在实数范围内,函数的定义域和值域都是实数。那么方程aχ+byc0经过变换可转化为y=-  χ-   ,它们在直角坐标系里画出来的图象都是一条直线。因此,可以说一个二元一次方程对应一个一次函数。如果使一次函数ykχ+b中的函数值等于0,那么一次函数转化为kχ+b0,这就是一元一次方程。因此,可以说求这个一元一次方程的解,实际上就是求使函数值为0的自变量的值,或者说求一次函数图象与χ轴交点的横坐标的值。

一般地,就初等数学而言,如果令函数值为0,那么这个函数就可转化为含有一个未知数的方程;求方程的解,就是求使函数值为0的自变量的值,或者说求函数图象与χ轴交点的横坐标的值。

3. 方程和函数思想的重要意义。

16世纪以前,人们主要是应用算术和方程方法解决现实生活中的各种实际问题,方程与算术相比,由于未知数参与了等量关系式的构建,更加便于人们理解问题、分析数量关系并构建模型,因而方程在解决以常量为主的实际问题中发挥了重要作用。到了17世纪,随着社会的发展,传统的研究常量的算术和方程已经不能解决以探究两个变量之间的关系为主的经济、科技、军事等领域的重要问题,这时函数便产生了。函数为研究运动变化的数量之间的依存、对应关系和构建模型带来了方便,从而能够解决比较复杂的问题。

概括地说,方程和函数思想是中小学数学,尤其是中学数学的重要内容之一。方程和函数在研究和构建现实世界的数量关系模型方面,发挥着重要的不可替代的作用。

4. 方程和函数思想的具体应用。

小学数学在学习方程之前的问题,都通过算术方法解决。在引入方程之后,小学数学中比较复杂的有关数量关系的问题,都可以通过方程解决,方程思想是小学数学的重要思想,其中一元一次方程是小学数学的必学内容。在小学数学里没有学习函数的概念,但是有函数思想的渗透,与正比例函数和反比例函数最接近的正比例关系和反比例关系是小学数学的必学内容。另外,在小学数学的一些知识中也会渗透函数思想,如数与数的一一对应体现了函数思想。方程和函数是小学数学与初中数学衔接的纽带。

小学数学中方程和函数思想的应用如下表。

思想方法

知识点

应用举例

方程思想

方程

用一元一次方程解决整数和小数等各种问题

分数、百分数和比例

用一元一次方程解决分数、百分数和比例等各种问题

等量代换

()元一次方程组思想的渗透

鸡兔同笼

用方程解决鸡兔同笼问题

函数思想

加法

一个加数不变,和随着另一个加数的变化而变化,可表示为

yχ+b的形式,渗透一次函数的思想

积的变化规律

一个因数不变,积随着另一个因数的变化而变化,可表示为

ykχ,渗透正比例函数思想

商的变化规律

除数不变,商随着被除数的变化而变化,可表示为y=  ,渗透正比例函数思想;被除数不变,商随着除数的变化而变化,可表示为y=  ,渗透反比例函数思想

 

正比例关系

正比例关系改写成ykχ,就是正比例函数

反比例关系

反比例关系改写成y=  ,就是反比例函数

 

数列

等差数列、等比数列、一般数列的每一项与序号之间的对应关系,都可以看作是特殊的函数关系。

空间与图形

长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式,长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积公式,圆的周长和面积公式等都渗透了函数的思想

统计图表

函数的列表法与统计表有相似之处

4.方程和函数思想的教学。

方程和函数都是义务教育阶段重要的数学思想方法,用方程和函数表示数量关系和变化规律,不仅能体现方程和函数思想的应用价值,也有助于学生形成模型思想。根据课程标准的理念,方程和函数思想的教学应关注以下几点。

(1)方程中的字母χ、y代表具体的未知的常数,即未知数,这是代数思想和方程思想的基础。

(2)正比例关系和反比例关系等函数关系式中的字母χ、y等代表的是变化的量,即变量,而且这两个量是相关联的量,一个量变化,另一个量会随之变化,这是函数思想的基础。要让学生体会他们的区别。

(3)结合具体情境,通过分析数量关系来理解等量关系,并用方程表示等量关系,再通过解方程解决问题,从而认识方程的作用。

(4)结合简单情境,认识成正比例的量或反比例的量,通过分析数量关系和变化规律建立比例关系式,再通过解比例解决问题。

(5) 能根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图,并根据其中一个量的值估计另一个量的值。

下面再结合案例谈谈方程和函数思想的教学。

案例1:妈妈买了3千克香蕉和2千克苹果,一共花了16元。苹果的价格是香蕉的2倍多1元,苹果和香蕉的单价各是多少?

分析:题目涉及的是商品的数量、单价和总价的关系,根据数量关系“单价×数量=总价”进行分析,题中出现了两种商品,总价也是两种商品的总价。所以等量关系应为“香蕉的单价×香蕉的数量+苹果的单价×苹果的数量=总价”。再根据这个等量关系找出题中已知的量,总价16元、香蕉的数量3千克和苹果的数量2千克。未知的是香蕉和苹果的单价,也就是题目中要求的量。香蕉的单价是χ元/千克,苹果的单价是y元/千克。根据题意,可列出如下方程。

3χ+2y16y2χ+1。根据等量代换的原理,两个方程可合并成一个方程,3χ+2(2χ+1)16。这是在小学数学中遇到含有有关系的两个未知数的方程时能够直接列出一个方程的依据。如和倍、差倍、鸡兔同笼等问题,用方程解决也是利用了这个原理。解方程,χ=2, y5

案例2:小明家的果园供游人采摘桃,每千克10元。请写出销售桃的总价(总收入)y元与数量(千克数) χ之间的关系式。如果某天的销量是50千克,这天的总收入是多少?如果上个月的总收入是12000元,上个月的销量是多少?

分析:此题涉及的也是商品的单价、数量和总价的关系,仍然要根据数量关系“单价×数量=总价”进行分析。根据题意,已知的量是单价,未知的量是总价和数量,题目已经告诉我们分别用yχ表示。因为桃的单价一定,所以它的总价与数量成正比例,可列关系式:y10χ。某天的销量是50千克,总收入是500元。上个月的总收入是12000元,销量是1200千克。

案例2和案例1相比较,都有两个量分别用y和χ表示。案例1中的y和χ虽然是未知的量,但是它们实际上是具体的静止的常量,都有一个固定的值,通过解方程可以得到它们的值。案例2的两个量y和χ则是相关联的变化的量,χ的取值可以是一定范围内 (果园内桃子总质量的最大值以内) 的任何一个数,y随χ的变化而变化。只有y和χ中的一个量取一个具体的值时,另一个量才会相应地取一个具体的值。如案例2中的具体问题的解答。

案例3:有一批捐赠的图书分给一个班的学生,如果每人分3本,则还缺15本;如果每人分2本,则剩余25本。这个班有多少学生?

分析:根据题意,这批书的数量和学生人数都是定值,那么表示书的数量的式子应该相等。题目求的是学生的数量,可设为未知数,书的数量可由学生的数量表示。设这个班有χ名学生,那么书的数量可分别表示为3χ-152χ+25

因此,可列方程3χ-152χ+25。解方程,χ=40

案例4:无限循环小数0.777…和0.747474…如何化成分数?你能发现什么规律?

分析:根据小数和分数的关系,有限小数化分数比较容易进行。由于无限循环小数具有位数无限的特点,不能直接用有限小数化分数的方法进行。根据循环小数的循环节不断重复出现的特点,循环节是几位数字,就把这个循环小数乘10的几次方;它的左起第一个循环节就变成了整数部分,而循环小数部分不会改变;二者的小数部分相同,二者的差为由循环节变成的整数部分。因此,可利用差倍问题的原理,列方程解决问题。如设χ=0.777…,那么10χ=7.777,求它们的差,10χ-χ=7,解方程,χ=  ,所以0.777…=  。同理可得,100χ-χ=74,χ=   ,所以0.747474…=  。

 

  无限循环小数化分数的规律是:把循环节组成的数作为分子,循环节有几位数字,分母就是由几个9组成的几位数。

六、几何变换思想

变换是数学中一个带有普遍性的概念,代数中有数与式的恒等变换、几何中有图形的变换。在初等几何中,图形变换是一种重要的思想方法,它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题,往往在解决问题的过程中能够收到意想不到的效果。

1. 初等几何变换的概念。

初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换,在中小学教材中出现的相似变换、合同变换等都属于初等几何变换。合同变换实际上就是相似比为1的相似变换,是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换,分为平移、旋转和反射(轴对称)变换等。

(1)平移变换。

将平面上任一点P变换到P′,使得:(1) 射线PP′的方向一定;(2) 线段PP′的长度一定,则称这种变换为平移变换。也就是说一个图形与经过平移变换后的图形上的任意一对对应点的连线相互平行且相等。

平移变换有以下一些性质:

①把图形变为与之全等的图形,因而面积和周长不变。

②在平移变换下两点之间的方向保持不变。如任意两点AB,变换后的对应点为A′和B′,则有ABA′B′。

在平移变换下两点之间的距离保持不变。如任意两点AB,变换后的对应点为A′和B′,则有AB=A′B′。

在解初等几何问题时,常利用平移变换使分散的条件集中在一起,具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。

(2)旋转变换。

在同一平面内,使原点O变换到它自身,其他任何点X变换到X′,使得:(1)OX=OX(2)XOX=θ(定角);则称这样的变换为旋转变换。O称为旋转中心,定角θ为旋转角。当θ>0时,为逆时针方向旋转;当θ<0时,为顺时针方向旋转。当θ等于平角时,旋转变换就是中心对称。通俗地说就是一个图形围绕一个定点在不变形的情况下转动一个角度的运动,就是旋转。在旋转变换下,图形的方位可能有变化。

旋转变换有以下一些性质:

①把图形变为与之全等的图形,因而面积和周长不变。

②在旋转变换下,任意两点AB,变换后的对应点为A′和B′,则有直线AB和直线A′B′所成的角等于θ。

在旋转变换下,任意两点AB,变换后的对应点为A′和B′,则有AB=A′B′。

在解决几何问题时,旋转的作用是使原有图形的性质得以保持,但通过改变其位置,组合成新的图形,便于计算和证明。

(3)反射变换。

在同一平面内,若存在一条定直线L,使对于平面上的任一点P及其对应点P′,其连线PP′的中垂线都是L,则称这种变换为反射变换,也就是常说的轴对称,定直线L称为对称轴,也叫反射轴。

轴对称有如下性质:

①把图形变为与之全等的图形,因而面积和周长不变。

②在反射变换下,任意两点AB,变换后的对应点为A′和B′,则有直线AB和直线A′B′所成的角的平分线为L。

两点之间的距离保持不变,任意两点AB,变换后的对应点为A′和B′,则有AB=A′B′。

如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。

把一个图形沿某一条直线折叠,如果它能够与另一图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称。

轴对称变换和轴对称图形是两个不同的概念,前者是指图形之间的关系或折叠运动,后者是指一个图形。中小学数学中的很多图形都是轴对称图形,利用这些图形的轴对称性质,可以帮助我们解决一些计算和证明的几何问题。

(4)相似变换。

在同一平面内,图形中的任意两点AB,变换后的对应点为A′、B′,也就是任一线段AB变换成AB′,总有

AB′=K?AB(K>0,且为常数)

则称为相似变换。通俗地说就是一个图形按照一定比例放大或缩小,图形的形状不变。其中的K称为相似比或相似系数,当K1时,即为合同变换。

相似变换有以下一些性质:

①两个图形的周长的比等于相似比。

②两个图形的面积的比等于相似比的平方。

③两条直线的夹角保持不变。

生活中的许多现象都渗透着相似变换的思想,如物体和图形在光线下的投影、照片和图片的放大或缩小、零件的图纸等等,因而利用相似变换可以解决生活中的一些几何问题。

2. 几何变换思想的重要意义。

课程改革以来,几何的教学已经由传统的注重图形的性质,周长、面积和体积等的计算、演绎推理能力转变为培养空间观念、计算能力、推理能力及观察、操作、实验能力并重的全面的、和谐的发展。其中推理不仅仅重视演绎推理,还特别强调合情推理。也就是说,新课程的理念在几何的育人功能方面注重空间观念、创新精神、探索能力、推理能力、计算能力、几何模型等全面、和谐的发展。而图形变换作为几何领域的重要内容和思想方法之一,在几何的育人功能方面发挥着非常重要的作用。图形变换来源于生活中物体的平移、旋转和轴对称的这些运动现象,因而了解图形的变换,有利于我们认识生活中丰富多彩的生活空间和形成初步的空间观念。利用图形变换设计美丽的图案,有利于感受、发现和创造生活的美,有利于认识图形之间的关系和发展空间观念。利用图形变换把静止的几何问题通过运动变换,找到更加简捷的解决问题的方法。

3. 几何变换思想的具体应用。

图形变换作为空间与图形领域的重要内容之一,在图形的性质的认识、面积公式的推导、面积的计算、图形的设计和欣赏、几何的推理证明等方面都有重要的应用。

小学数学中几何变换思想的应用如下表。

思想方法

知识点

应用举例

轴对称

画简单的轴对称图形

认识轴对称图形,画出一个简单图形的轴对称图形

平移变换

认识平移,把简单图形平移

判断生活中物体的运动哪些是平移现象

画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形

旋转变换

感知旋转现象

判断生活中物体的运动哪些是旋转现象

把简单图形旋转90°

画出一个简单图形顺时针或逆时针旋转90°后的图形

合同变换

图形的性质、面积的计算

平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式的推导等都渗透了几何变换思想

图案的欣赏和设计

判断一些图案是由一些基本图形经过什么变换得到的;

利用平移、旋转和轴对称等变换,设计美丽的图案

相似变换

把简单图形放大或缩小

画出长方形、正方形、三角形等简单的图形按照一定的比例放大或缩小后的图形

4.几何变换思想的教学。

(1)课程标准关于图形变换的教学要求。

课程标准关于图形变换的内容和目标分为以下几个层次:

学段

内容和目标

第一学段

结合生活实例,感知平移、旋转和轴对称现象。

在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形

认识轴对称图形,在方格纸上画出简单图形的轴对称图形

第二学段

认识图形的平移和旋转,体会图形的相似

确定轴对称图形的对称轴,在方格纸上画出一个图形的轴对称图形

在方格纸上画出简单图形平移或旋转90°后的图形;在方格纸上画出简单图形按一定比例放大或缩小后的图形

判断一些图案是由一些基本图形经过什么变换得到的,利用平移、旋转和轴对称等变换,设计图案

(2)教学中需要注意的问题。

图形变换在大纲时代的小学几何中只学习了轴对称,而且不是几何中的主要内容。课程标准与大纲相比,在第一、二学段的空间与图形领域的图形变换方面,新增加了平移、旋转和相似变换。这些内容虽然难度不大,但是对概念的准确性和教学要求比较难把握,给一些教师的备课和教学带来一定困惑。下面谈一谈如何把握相关的概念和教学要求。

第一,对一些概念的准确把握。

平移、旋转、轴对称变换与生活中物体的平移、旋转和轴对称现象不是一个概念。数学来源于生活,但不等于生活,是生活现象的抽象和概括。生活中的平移和旋转现象往往是物体的运动,如推拉窗、传送带、电梯、钟摆、旋转门等物体的运动,都可以称之为平移现象或旋转现象。而中小学中的几何变换都是指平面图形在同一个平面的变换,也就是说原图形和变换后的图形都是平面图形,而且都在同一个平面内。几何中的平移、旋转和轴对称变换来自于生活中物体的平移现象、旋转现象和轴对称现象,如果把生活中这些物体画成平面图形,并且在同一平面上运动,就可以说成是几何中的平移、旋转和轴对称变换了。

一个变换是不是合同变换或相似变换,要依据概念进行判断。如课程标准要求小学阶段的平移限于水平方向和竖直方向,实际上平移也可以沿斜线方向平移,只要满足平移的两个条件。如高山索道、滑雪等都可以看成平移现象,画成平面图形就是平移变换。再如旋转,象旋转门、螺旋桨、水龙头等都可以看成旋转现象,但是要注意它的严密性:一是旋转中心必须固定,二是物体不能变形,三是旋转的角度可大可小,可以是1度,也可以是300度。这样的旋转运动画成平面图形在同一平面的运动才是旋转变换。另外,几何意义上的变换都是从图形的对应点及其连线的几何性质进行描述的,与图形的颜色等无关。

案例1:一辆汽车在笔直平坦的道路上行驶,这辆汽车的运动是平移吗?如果这辆汽车急刹车,轮胎抱死在道路上滑行是平移吗?

分析:严格来说,物体的平移应该保证物体不变形而且物体上的点在物体上

的位置是固定的,轮胎在转动时汽车的运动就不是平移了,轮胎抱死滑行就是平移。因此,前者不是平移,后者是平移。

案例2:一架直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨的转动是旋转吗?它停在

陆地上时螺旋桨的转动是旋转吗?

分析:直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨在转动,但是它的旋转中心一直

在移动,没有固定,因此不能看成几何意义上的旋转,只能说它是生活中的旋转现象。当它停在陆地上时螺旋桨的转动就可以看成旋转了。

 

 

案例3:下面的图形是轴对称图形吗?

 

 

 

 

 

 


      图(1)              图(2)

分析:一个图形沿一条直线折叠,直线两边的部分能够完全重合,这样的图形才是轴对称图形,而光有四周或轮廓重合是不够的。图(1)从三角形的顶点向底边作一条垂线,垂线两边的轮廓能够重合,但是小方格没有对应的重合的部分,因此,它不是轴对称图形。图(2)是轴对称图形。

第二,注意图形变换与其它几何知识的联系。

小学几何中的很多平面图形都是轴对称图形,如长方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、圆等。一方面要在学习轴对称时加强对这些图形的对称轴和轴对称的有关性质的认识;另一方面要在学习这些图形的概念和性质时进一步体会它们的轴对称特点。

在推导平行四边形、三角形和梯形的面积公式时,包括在计算组合图形的面积时,都用到了变换思想。如三角形面积公式的推导,是把任意两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形,再利用三角形和平行四边形的关系,求出三角形的面积公式。这实际上是把任意一个三角形旋转180度,再沿着一条边平移,就组合成了一个平行四边形。也就是说,把任意一个三角形经过旋转和平移变换,就变换成了平行四边形。梯形面积公式的推导也是利用了这个原理。我国古代数学家刘徽利用出入相补原理求三角形和梯形的面积,实际上也用到了旋转变换。

案例4:小明家的院子里有一块长30、宽20的长方形菜地,地里有两条相互垂直而且宽都是1的小路。这块地实际种菜的面积是多少?

分析:此题对于小学生来说,并

不是难题,可以有多种方法。这里可

以应用平移原理,把小路向底边和右

边平移。这时实际种菜的面积就转化

为求长29、宽19的长方形的面

积,用长乘宽就可求出面积。

案例5: 如图所示,三个同心圆的最大的

圆的两条直径相互垂直,最大的圆的半径是

2cm,求阴影部分的面积。

分析:此题从表面上看,阴影部分比较

分散,没有足够的数据计算每部分阴影的面积。

根据两条直径相互垂直可以得出每个圆都被

平均分成了4份,每一份旋转90度都可以与

相邻的部分重合。因此,可以把最外圈阴影部分的四分之一大圆绕圆心顺时针旋转90度,把中间阴影部分的四分之一圆绕圆心逆时针旋转90度,使阴影经过旋转集中在右上角四分之一大圆里。阴影的面积为: ×π×2?=π(cm?)

 

以上解题思路告诉我们,在计算一个图形尤其是组合图形的面积时,利用变换原理可以使原有的图形得到新的组合图形,转化为易于计算面积的图形,从而简化计算的步骤。

第三,对教学要求和解题方法的准确把握。

如前所述,课程标准对图形变换的内容和教学要求有比较清晰的描述,尤其是要把握好两个学段的内容、教学要求和解题方法。

  首先像直观判断题,例如,一个平面内有若干图形,要判断哪些图形经过平移可以互相重合,对于小学生来说很难用任何一对对应点的连线平行且相等来判断,只能通过直观感受判断,也就是说直观感受原图形在没有任何转动的情况下,通过水平、竖直或者沿斜线滑动能够与另一个图形重合,就是平移。同一平面内的任何两个图形,如果通过平移后能够重合,那么最多只需要通过两次水平或者竖直方向的平移就能够重合,借助方格纸可以帮助我们理解其中的道理。如在方格纸上原图形中的点A(23),经过平移后它的对应点为A(810)。那么原图形可以通过先向右平移6格,再向上平移7格;或者先向上平移7格,再向右平移6格,得到平移后的图形。

其次像作图题,例如,画出一个图形沿着一个方向平移几格后的图形,应让学生明确,一个图形沿着一个方向平移几格,那么这个图形上的任何一个点和线段都沿着相同的方向平移几格。可重点掌握以下几个步骤:找出图形的关键的几个点;明确平移的方向和距离;画出平移后关键点的对应点;按照原图形的顺序连结各个点。再如,画出一个图形旋转90度后的图形,应让学生明确,一个图形绕一个点沿一个方向旋转多少度,那么这个图形上的任何一个点和线段都围绕该点沿着相同的方向旋转相同的度数。可重点掌握以下几个步骤:确定旋转中心、旋转方向;找出图形的关键的几个点;画出旋转后关键点的对应点;按照原图形的顺序连结各个点。其中的难点是,图形的关键点与旋转中心的连线是斜线的时候如何旋转90度,可以先画能够确定旋转90度的线段,再根据原图形的形状特点来确定其他的关键点。

另外,在学习利用平行线画平行四边形之前,还可以利用平移在方格纸上画平行四边形,在方格纸上先任意画出顶点在方格交叉点上的相邻两条边,再根据平移的原理画出相对的两条边。

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